Tema 1 · Propagación

Difracción: Fresnel y Bullington

Primer elipsoide de Fresnel, despejamiento, ν y J(ν); varios obstáculos con Bullington

Idea clave. La señal no viaja por una línea: ocupa un volumen alrededor del rayo, el primer elipsoide de Fresnel. Si el terreno invade ese elipsoide hay pérdidas por difracción, aunque el obstáculo no llegue a tapar el rayo. Todo se resume en un número, el parámetro $\nu$ , que compara el despejamiento con el radio del elipsoide.

Huygens y los elipsoides de Fresnel

Según el principio de Huygens, cada punto de un frente de onda se comporta como una fuente de ondas esféricas. Al receptor llegan contribuciones por todos los caminos; las que recorren hasta media longitud de onda más que el rayo directo forman el primer elipsoide de Fresnel, y en espacio libre el campo recibido coincide, en primera aproximación, con la contribución de ese elipsoide.

El elipsoide $n$ reúne los puntos cuyo camino es $n\lambda/2$ más largo que el directo. Su radio en un punto a $d_1$ de una estación y $d_2$ de la otra ( $d = d_1 + d_2$ ) es:

R_n(d_1, d_2) = \sqrt{\frac{n\,\lambda\, d_1\, d_2}{d}} \qquad R_1 = \sqrt{\frac{\lambda\, d_1\, d_2}{d}}

Es máximo a mitad del vano y baja con la frecuencia: a 8 GHz, en un vano de 20 km, mide 13,4 m a 8 km de una estación.

Despejamiento y parámetro ν

En cada punto del perfil se compara el terreno con el rayo. Con la Tierra ficticia, el terreno es su elevación sobre el nivel del mar $ee$ más la flecha $b$ , y el rayo es una recta entre las dos antenas:

y(d_1) = m_{et1,et2}\, d_1 + h_{et1} + ee_{et1} \qquad m_{et1,et2} = \frac{h_{et2} + ee_{et2} - h_{et1} - ee_{et1}}{d}

c(d_1, d_2) = ee(d_1, d_2) + b(d_1, d_2) - y(d_1)

El despejamiento $c$ es positivo si el obstáculo sobresale del rayo y negativo si queda por debajo. Las transparencias dan como condición de despejamiento insuficiente $c > -0{,}6\,R_1$ : el terreno entra en el primer elipsoide. Para calcular las pérdidas se usa el parámetro de difracción:

\nu = \frac{\sqrt{2}\; c}{R_1}

Hay difracción si $\nu > -0{,}78$ , que equivale a $c > -0{,}55\,R_1$ : casi lo mismo que la condición de las transparencias, pero no exactamente. Con varios obstáculos se usa la de $\nu$ .

Los tres escenarios

Sin difracción: todos los obstáculos cumplen $\nu \le -0{,}78$ . No hay pérdidas por difracción.
Obstáculo agudo aislado: un único obstáculo agudo cumple $\nu > -0{,}78$ . Se trata como un filo de cuchillo:

J(\nu) = 6{,}9 + 20\log_{10}\!\left(\sqrt{(\nu - 0{,}1)^2 + 1} + \nu - 0{,}1\right)

Varios obstáculos u obstáculo redondeado: más de un obstáculo (o uno redondeado) cumple $\nu > -0{,}78$ . Se aplica el método de Bullington.

Con $c = 0$ el rayo roza la punta y se pierden unos 6 dB: la mitad del elipsoide está tapada. Las pérdidas crecen deprisa en cuanto el obstáculo sobresale. Ojo: $b$ y $c$ no dependen de la frecuencia, pero $R_1$ sí, así que el mismo obstáculo da más pérdidas a más frecuencia cuando tapa el rayo.

Varios obstáculos: método de Bullington

Bullington sustituye todos los obstáculos por uno solo y le aplica el filo de cuchillo.

Paso 1. Se busca la peor pendiente desde ET1, la de la recta que une la antena con el obstáculo más «alto» visto desde ella:

m_{et1mx} = \max\left[\frac{ee(d_1,d_2) + b(d_1,d_2) - h_{et1} - ee_{et1}}{d_1}\right]

Paso 2. Se compara con la pendiente del rayo:
- Si $m_{et1mx} \le m_{et1,et2}$ , el rayo está despejado: ningún obstáculo lo tapa, pero alguno puede invadir el elipsoide. Se usa el obstáculo de mayor $\nu$ : $L_{cu} = J(\nu_{max})$ .
- Si $m_{et1mx} > m_{et1,et2}$ , el rayo está obstruido. Se busca también la peor pendiente desde ET2, $m_{et2mx}$ (con $d_2$ en el denominador). Las dos rectas se cortan en el obstáculo ficticio:

d_{1,fic} = \frac{m_{et2mx}\, d + ee_{et2} + h_{et2} - ee_{et1} - h_{et1}}{m_{et1mx} + m_{et2mx}} \qquad c_{fic} = m_{et1mx}\, d_{1,fic} + ee_{et1} + h_{et1} - y(d_{1,fic})

Con $c_{fic}$ y el $R_1$ en $d_{1,fic}$ sale $\nu_{fic}$ , y $L_{cu} = J(\nu_{fic})$ .

Paso 3. Se corrige con la longitud del vano:

L_{ad,dif} = L_{cu} + \left(1 - e^{-L_{cu}/6}\right)\left(10 + 0{,}02\, d_{\mathrm{km}}\right)

Las transparencias usan $J(\nu)$ directamente cuando hay un único obstáculo agudo; el paso 3 es del método de Bullington.

Preguntas de repaso

¿Por qué puede haber pérdidas si el obstáculo no tapa el rayo?

Porque la señal no viaja solo por el rayo: ocupa el primer elipsoide de Fresnel. Si el terreno entra en él ( $\nu > -0{,}78$ ), parte de las contribuciones de Huygens se pierden y $J(\nu) > 0$ , aunque $c$ sea negativo. (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

Vano de 20 km a 8 GHz, obstáculo agudo a 8 km que sobresale 10 m. ¿Cuánto vale J?

$R_1 = \sqrt{0{,}0375\cdot 8000\cdot 12\,000/20\,000} \approx 13{,}4$ m, $\nu = \sqrt{2}\cdot 10/13{,}4 \approx 1{,}05$ y $J(\nu) \approx 14{,}3$ dB. Se puede comprobar con el widget del perfil. (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

¿Qué se suma al terreno antes de compararlo con el rayo, y por qué?

La flecha $b = d_1 d_2/(2 K R_T)$ . El rayo se dibuja recto sobre la Tierra ficticia de radio $K R_T$ , y la flecha es lo que esa Tierra sube sobre la cuerda. Si el enunciado ya da la cota con flecha, no se vuelve a sumar. (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

En Bullington, ¿qué decide si se usa el obstáculo ficticio?

La comparación de pendientes del paso 2. Si la peor pendiente desde ET1 no supera la del rayo, el rayo está despejado y manda el obstáculo de mayor $\nu$ . Si la supera, el rayo está tapado y se usa el corte de las peores pendientes desde las dos estaciones. (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

Material del curso usado: Transparencias del tema 1: «Propagación por onda de espacio (condiciones normales)» · Formulario propio.