Tema 1 · Propagación

Reflexión: el modelo de dos rayos

Sin obstáculos, sobre mar o terreno liso: alturas h′, ángulo rasante, φmin y lóbulos de interferencia

Idea clave. Si no hay obstáculos pero el terreno es liso (o es el mar), al receptor le llegan dos rayos: el directo y uno reflejado en el suelo. Recorren caminos de distinta longitud, así que se suman o se restan según la distancia, y la señal pasa por máximos de hasta +6 dB y nulos muy profundos respecto al espacio libre.

La geometría: plano tangente y ángulo rasante

El rayo reflejado rebota en un punto del vano, a $d_1$ de ET1 y $d_2$ de ET2. Allí se apoya un plano tangente a la Tierra ficticia, y las alturas de las antenas se miden sobre él. Cada antena «baja» lo que la Tierra ficticia se curva hasta el punto de reflexión:

h'_{et1} = h_{et1} + ee_{et1} - \frac{d_1^2}{2\,K\,R_T} \qquad h'_{et2} = h_{et2} + ee_{et2} - \frac{d_2^2}{2\,K\,R_T}

El rayo reflejado sale con el mismo ángulo con el que llega: el ángulo rasante $\varphi$ . Por triángulos semejantes:

\tan\varphi = \frac{h'_{et1}}{d_1} = \frac{h'_{et2}}{d_2}

El punto de reflexión cae más cerca de la antena más baja. Las transparencias dan las expresiones exactas de $d_1$ y $d_2$ (con un arcocoseno) a partir de las alturas y de $K R_T$ ; con alturas parecidas, el punto está cerca de la mitad del vano.

¿Reflexión o tierra esférica?

Con $d_{max} = d_{et1} + d_{et2}$ (el horizonte radioeléctrico) y el ángulo mínimo para que el suelo refleje de verdad,

\varphi_{min}\,(\mathrm{mrad}) = \left(\frac{5400}{f_{\mathrm{MHz}}}\right)^{1/3}

las pérdidas adicionales al espacio libre se estiman así:

$d \le d_{max}$ y $\varphi \ge \varphi_{min}$ : reflexión (modelo de dos rayos).
$d \le d_{max}$ y $\varphi \lt \varphi_{min}$ : difracción por tierra esférica con despejamiento negativo. Hay visión directa, pero el rayo pasa tan rasante que la propia curvatura de la Tierra invade el elipsoide.
$d > d_{max}$ : difracción por tierra esférica con despejamiento positivo. La Tierra tapa el rayo.

La difracción por tierra esférica se calcula con la recomendación UIT-R P.526, que suma términos que dependen de la distancia y de la altura de cada antena.

Las pérdidas por reflexión

El campo recibido es el del espacio libre multiplicado por la suma de los dos rayos. El reflejado llega atenuado y desfasado por el coeficiente de reflexión efectivo $R_e$ y por la diferencia de caminos $\Delta l$ :

L_{ad} = -20\log_{10}\left|1 + R_e\, e^{-j\,2\pi\,\Delta l/\lambda}\right| \qquad \Delta l = \sqrt{d^2 + (h'_1 + h'_2)^2} - \sqrt{d^2 + (h'_1 - h'_2)^2} \approx \frac{2\,h'_1\, h'_2}{d}

El coeficiente efectivo tiene tres factores:

R_e = R\cdot D\cdot e^{-\gamma^2/2} \qquad \gamma = \frac{4\pi\,\sigma_{ee}\,\operatorname{sen}\varphi}{\lambda}

$R$ es el coeficiente de reflexión de Fresnel del suelo. Depende del ángulo rasante, de la polarización y de la permitividad compleja $\varepsilon_c = \varepsilon_r - j\,60\,\sigma\,\lambda$ . Para polarización horizontal y vertical:

R_H = \frac{\operatorname{sen}\varphi - \sqrt{\varepsilon_c - \cos^2\varphi}}{\operatorname{sen}\varphi + \sqrt{\varepsilon_c - \cos^2\varphi}} \qquad R_V = \frac{\varepsilon_c\operatorname{sen}\varphi - \sqrt{\varepsilon_c - \cos^2\varphi}}{\varepsilon_c\operatorname{sen}\varphi + \sqrt{\varepsilon_c - \cos^2\varphi}}

En incidencia rasante sobre el mar ( $\varepsilon_r \approx 70$ , $\sigma \approx 5$ S/m), $R \approx -1$ en las dos polarizaciones.

$D \le 1$ es el factor de divergencia: la superficie curva abre el haz reflejado y lo debilita.
$e^{-\gamma^2/2}$ es la rugosidad: $\sigma_{ee}$ es la desviación típica de las elevaciones del terreno en la zona de reflexión. Un mar agitado refleja menos que uno en calma.

Con $R_e \approx -1$ y antenas bajas, $\Delta l$ es muy pequeño y los dos rayos casi se anulan: lejos, la señal cae por debajo del espacio libre. Al acercarse, $\Delta l$ crece y aparecen los lóbulos: cada vez que $\Delta l$ es un número impar de semilongitudes de onda, los rayos están en fase (+6 dB); cuando es un número entero de longitudes de onda, se restan (nulo). El último máximo está en $d = 4 h'_1 h'_2/\lambda$ . Al bajar $|R_e|$ (terreno rugoso o poco conductor) los nulos son menos profundos.

La vegetación

Si el trayecto cruza una zona boscosa, o un único obstáculo vegetal lo tapa, hay que sumar unas pérdidas por vegetación, que da la recomendación UIT-R P.833.

Preguntas de repaso

¿Por qué las alturas del modelo de dos rayos son menores que las de las antenas sobre el mar?

Porque se miden sobre el plano tangente a la Tierra ficticia en el punto de reflexión, y la Tierra se curva entre la antena y ese punto. A cada altura se le resta $d^2/(2 K R_T)$ , con $d$ la distancia de esa antena al punto de reflexión. (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

Vano de 10 km a 10 GHz sobre el mar con h′₁ = 20 m y h′₂ = 10 m. ¿Hay reflexión?

El punto de reflexión cumple $h'_1/d_1 = h'_2/d_2$ , así que $d_1 = 10\cdot 20/30 \approx 6{,}67$ km y $\varphi \approx 20/6670 \approx 3$ mrad. Como $\varphi_{min} = (5400/10\,000)^{1/3} \approx 0{,}81$ mrad, $\varphi \ge \varphi_{min}$ : hay reflexión (si además $d \le d_{max}$ ). (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

¿Por qué con Re ≈ −1 y antenas bajas la señal lejana queda por debajo del espacio libre?

Con $\Delta l \approx 2h'_1h'_2/d$ muy pequeño, el desfase $2\pi\Delta l/\lambda$ es casi cero y el rayo reflejado llega con signo contrario (fase $\pi$ ): resta casi todo el campo del directo. (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

¿Qué tres factores forman Re y qué representa cada uno?

$R$ , el coeficiente de Fresnel (cómo refleja el suelo según $\varphi$ , la polarización y $\varepsilon_c$ ); $D$ , el factor de divergencia (la Tierra curva abre el haz reflejado); y $e^{-\gamma^2/2}$ , la rugosidad del terreno en la zona de reflexión. (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

Material del curso usado: Transparencias del tema 1: «Propagación por onda de espacio (condiciones normales)» · Formulario propio.