Tema 1 · Propagación

Atmósfera y factor K

La troposfera curva el rayo: Tierra ficticia K·RT, flecha, horizonte y K99,9

Idea clave. La troposfera no es homogénea: su índice de refracción baja con la altura y por eso el rayo se curva hacia la Tierra. En vez de dibujar un rayo curvo sobre la Tierra real, se dibuja un rayo recto sobre una Tierra ficticia de radio $K \cdot R_T$ . Con $K$ se calculan la flecha (cuánto se abomba el terreno bajo el rayo) y el horizonte radioeléctrico.

El índice de refracción de la troposfera

El índice de refracción $n$ del aire es casi 1, así que se trabaja con el coíndice de refractividad $N$ , que depende de la presión $p$ (hPa), de la presión del vapor de agua $e$ (hPa) y de la temperatura absoluta $T$ (K), según la recomendación UIT-R P.453:

N(h) = \big(n(h) - 1\big)\cdot 10^6 = \frac{77{,}6}{T(h)}\left(p(h) + 4810\,\frac{e(h)}{T(h)}\right)

Con la altura bajan la presión y el vapor de agua, así que $N$ baja. Se modela con una exponencial que, cerca del suelo, es casi una recta. En atmósfera estándar, con $h$ en km:

N(h) = N_s\, e^{-h/h_0} \approx N_s\left(1 - \frac{h}{h_0}\right) = 315\, e^{-h/7{,}35}

La pendiente cerca del suelo es $dN/dh \approx -315/7{,}35 \approx -43$ unidades N por km.

El rayo se curva

La ley de Snell en capas, $n(h)\cdot \operatorname{sen}\varphi(h) = \text{cte}$ , dice que un rayo que pasa a capas de menor índice se inclina hacia ellas: el rayo se curva hacia abajo, hacia la Tierra. Su radio de curvatura es

\frac{1}{R_{rayo}} = -\frac{dn}{dh} = -\frac{dN}{dh}\,10^{-6}

En atmósfera estándar sale $R_{rayo} \approx 7{,}35/(315\cdot 10^{-6}) \approx 23\,333$ km, unas 3,7 veces el radio de la Tierra ( $R_T = 6371$ km). Por eso la señal llega algo más lejos que el horizonte óptico.

La Tierra ficticia y el factor K

Trabajar con dos curvas (el rayo y la Tierra) es incómodo. Lo que importa es la diferencia de curvaturas, así que se puede enderezar el rayo y quitarle esa curvatura a la Tierra: el despejamiento entre rayo y terreno no cambia. La Tierra ficticia tiene radio $R'_T = K\cdot R_T$ :

\frac{1}{K R_T} = \frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_{rayo}} \qquad K = \frac{1}{1 + R_T\,\dfrac{dN}{dh}\,10^{-6}} = \frac{157}{157 + dN/dh}

En atmósfera estándar, $K = 157/(157 - 315/7{,}35) \approx 1{,}38$ , y en la práctica se toma $K = 4/3$ (que corresponde a una pendiente de unas $-39$ unidades N por km). Según el valor de $K$ , la Tierra se modela como:

$K > 4/3$ : superrefractiva. El rayo se curva más de lo normal y la Tierra ficticia es más plana. Con $K = \infty$ el rayo tiene la misma curvatura que la Tierra y se puede dibujar sobre una Tierra plana.
$K = 4/3$ : estándar (condiciones normales).
$0 \le K \le 1$ : subrefractiva. El rayo apenas se curva o se curva hacia arriba; la Tierra ficticia se abomba más y el terreno se acerca al rayo.
$K \lt 0$ : conductiva. El rayo se curva más que la Tierra y la sigue.

Las transparencias no dan nombre al tramo $1 \lt K \lt 4/3$ .

Lo que la Tierra ficticia sube sobre la cuerda que une los dos extremos es la flecha. En un punto a $d_1$ de una estación y $d_2$ de la otra:

b = \frac{d_1\, d_2}{2\, K\, R_T}

Es máxima a mitad del vano y no depende de la frecuencia. Con $d_1$ y $d_2$ en km y $b$ en metros, $b = d_1 d_2/(12{,}74\, K)$ . Al estudiar obstáculos, la flecha se suma a la elevación del terreno.

Línea de vista y horizonte radioeléctrico

Entre dos antenas hay visión directa (LOS, line of sight) si el rayo recto no corta la Tierra ficticia. Cada estación «ve» hasta su horizonte radioeléctrico, el punto donde un rayo tangente a la Tierra ficticia la toca. Para una antena a una altura $h$ sobre el nivel del mar (altura sobre el suelo más elevación del suelo), y como $h \ll K R_T$ :

d_{et} = \sqrt{(K R_T + h)^2 - (K R_T)^2} \approx \sqrt{2\, K\, R_T\, h} \qquad d_{max} = d_{et1} + d_{et2}

Más allá de $d_{max}$ no hay visión directa. En el widget, dos mástiles de 40 m sobre el mar ven hasta 26,1 km cada uno con $K = 4/3$ : un vano de 50 km tiene visión directa, pero con atmósfera subrefractiva la pierde.

K en el peor caso: K99,9

$K$ no es fijo: cambia con el tiempo según el estado de la atmósfera, y cuando baja el terreno se acerca al rayo. Es una de las causas de desvanecimiento, que se evita poniendo las antenas a la altura adecuada. Para diseñar se usa el valor de $K$ que se supera el 99,9 % del peor mes, que depende de la longitud del vano:

K_{99{,}9} = \frac{157}{144 + 2670/d_{\mathrm{km}}}

Siempre es menor que 4/3: en 50 km vale 0,795, y en vanos muy largos tiende a $157/144 \approx 1{,}09$ . Con ese $K$ se calcula la flecha y se comprueba que el rayo sigue despejado.

Preguntas de repaso

¿Por qué se dibuja el rayo recto y la Tierra con otro radio?

Porque lo que decide si el terreno estorba es la diferencia entre la curvatura del rayo y la de la Tierra. Si se le quita al rayo su curvatura y se le resta a la Tierra, el despejamiento no cambia y las cuentas (flecha, rayo, obstáculos) se hacen con rectas. (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

Dos mástiles de 40 m sobre el mar, K = 4/3. ¿Hasta qué distancia hay visión directa?

$d_{et} = \sqrt{2\cdot\tfrac{4}{3}\cdot 6371\cdot 10^3\cdot 40} \approx 26{,}1$ km por estación, así que $d_{max} \approx 52{,}1$ km. (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

¿Por qué se diseña con K99,9 y no con 4/3?

Porque $K$ baja a ratos, y con $K$ menor la flecha crece y el terreno se acerca al rayo. Si las alturas se eligen con el $K$ que se supera el 99,9 % del peor mes (menor que 4/3), el rayo queda despejado casi siempre y la variación de $K$ no causa cortes. (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

¿Qué diferencia hay entre una atmósfera superrefractiva y una subrefractiva?

En la superrefractiva ( $K > 4/3$ ) el rayo se curva más hacia la Tierra: la Tierra ficticia es más plana y la señal llega más lejos. En la subrefractiva ( $0 \le K \le 1$ ) el rayo apenas se curva: la Tierra ficticia se abomba, el horizonte se acerca y pueden aparecer obstáculos que antes no tapaban. (Pregunta propia, redactada a partir de las transparencias.)

Material del curso usado: Transparencias del tema 1: «Propagación por onda de espacio (condiciones normales)» · Transparencias del tema 3: «Desvanecimientos y calidad en radioenlaces» (variación del factor K) · Formulario propio.