Tráfico

Tráfico y colas

Erlang B y C, colas y formulario

Aquí está la parte de la asignatura que se resuelve con números: cuántos canales hacen falta para un tráfico dado, qué bloqueo hay con los que tienes y qué retardo sufre un mensaje en una cola. El formulario es el de Redes de Comunicaciones.

Eligiendo el modelo

¿Qué pasa con una llamada que no encuentra servidor libre?	¿Cuántos usuarios?	Modelo
Se pierde (bloqueo)	Muchos (infinitos)	Erlang B, M/M/N/N
Se pierde (bloqueo)	Un número finito p	Engset, M/M/N/N/p
Espera en una cola infinita	Muchos	Erlang C, M/M/N
Espera, con un solo servidor	Muchos	M/M/1 (M/D/1 y M/G/1 si el servicio no es exponencial)
Espera, pero la cola tiene tope N	Muchos	M/M/1/N

Notación de Kendall A/B/C/K: llegadas / servicio / servidores / capacidad total. M significa «sin memoria» (Poisson en llegadas, exponencial en servicio).

Los ingredientes: Poisson y exponencial

Las llamadas llegan según un proceso de Poisson de tasa $\alpha$ y duran un tiempo exponencial. Son los dos supuestos de todo lo que sigue.

P_T(k) = \frac{(\alpha T)^k}{k!}\, e^{-\alpha T}

Es la probabilidad de $k$ llegadas en un tiempo $T$ .

F_\tau(x) = 1 - e^{-\alpha x}, \qquad f_\tau(x) = \alpha\, e^{-\alpha x}

Es la distribución del tiempo entre llegadas (o de la duración).

Tráfico: si cada usuario hace $\lambda$ llamadas por unidad de tiempo y cada una dura $1/\mu$ de media, $A = \lambda/\mu$ . Con $p$ usuarios, un intento cada 90 min y 2 min por llamada: $A = p \cdot (2/90)$ Erlang. Cuidado con las unidades: $\lambda$ y $1/\mu$ deben ir en la misma unidad de tiempo.

Erlang B y Engset (con pérdidas)

P_n = \frac{A^n / n!}{\sum_{k=0}^{C} A^k / k!}

P_B = P_C = \frac{A^C / C!}{\sum_{k=0}^{C} A^k / k!} = E_1(A, C)

Es Erlang B, con $A = \lambda/\mu$ y $C = N$ canales.

\gamma = \lambda (1 - P_B) = \mu E[n], \qquad E[n] = A (1 - P_B)

Es el tráfico cursado.

Con p usuarios (M/M/N/N/p, $p > N$ ) y $a = \lambda/\mu$ la tasa de un usuario:

P_B = \frac{\binom{p}{N} a^N}{\sum_{k=0}^{N} \binom{p}{k} a^k}

Es la probabilidad de que el sistema esté lleno.

P_L(p) = P_B(p - 1)

Es el bloqueo visto por una llamada: la de un usuario que no está ya en una.

Y al revés: con cuántos usuarios y cuánto tráfico hace cada uno, ¿cuántos canales hacen falta?

Ojo. Las tablas del formulario dan el bloqueo en % para A de 1,5 a 20 Erlang y N de 3 a 29, y otras para N grandes (24, 30, 90, 96… hasta 2016: son múltiplos de 30, los canales de una E1, o de 24, los de una T1). La calculadora usa la fórmula exacta, así que puede diferir en el último decimal de la tabla redondeada.

Erlang C (con cola)

\rho = \frac{\lambda}{N\mu}, \qquad A = \rho N = \frac{\lambda}{\mu}, \qquad C = N

P_D = \frac{1}{1-\rho} \cdot \frac{(N\rho)^N}{N!} \cdot P_0 = E_2(C, A)

Es la probabilidad de espera.

E[q] = \frac{\rho}{1-\rho}\, E_2(C, A), \qquad E[n] = A + E[q]

E[W] = \frac{1}{\mu} \cdot \frac{E_2(C, A)}{C - A}, \qquad E[T] = \frac{1}{\mu} + E[W]

Solo vale con $\rho < 1$ , es decir $A < N$ : si llega más tráfico del que los servidores pueden atender, la cola crece sin límite.

Una cola: M/M/1, M/D/1 y M/G/1

Para $\rho = \lambda/\mu < 1$ :

\text{M/M/1:} \quad P_n = (1-\rho)\rho^n, \qquad E[n] = \frac{\rho}{1-\rho}, \qquad E[T] = \frac{1/\mu}{1-\rho} = \frac{1}{\mu - \lambda}

E[W] = \frac{\rho/\mu}{1-\rho}, \qquad E[q] = \frac{\rho^2}{1-\rho}

\text{Little:} \quad \lambda E[T] = E[n], \qquad \lambda E[W] = E[q]

\text{M/G/1:} \quad E[n] = \frac{\rho}{1-\rho}\left[1 - \frac{\rho}{2}\left(1 - \mu^2\sigma^2\right)\right]

Aquí $\sigma^2$ es la varianza del servicio.

\text{M/D/1 } (\sigma = 0)\text{:} \quad E[n] = \frac{\rho}{1-\rho}\left[1 - \frac{\rho}{2}\right], \qquad E[T] = \frac{1/\mu}{1-\rho}\left[1 - \frac{\rho}{2}\right]

\text{M/M/1/N:} \quad P_n = \frac{(1-\rho)\rho^n}{1-\rho^{N+1}}, \qquad P_B = P_N = \frac{(1-\rho)\rho^N}{1-\rho^{N+1}}

Tamaños de mensajes de señalización

El formulario también da los tamaños de los mensajes SS7, que hacen falta en los problemas de carga de señalización. Son los valores tipo que se usan salvo indicación contraria.

MTP3 y MTP2

MTP3: SIO 8 b, DPC 14 b, OPC 14 b, SLS 4 b, datos de MTP3.

MTP2: Flag 8 b, control 16 b, IL 8 b, CI (información), CRC 16 b, Flag 8 b.

ISUP

Mensaje	Tamaño
IAM	16 octetos
SAM	10
ACM	7
ANM	5
REL	10
RLC	5

SCCP

Mensaje	Tamaño
Clase 1: U	12 octetos
Clase 2: CR	10
CC	9
D	7
R	9
RC	7

Autoevaluación

¿Qué mide el Erlang y cómo se calcula el tráfico ofrecido?

Es el número medio de llamadas simultáneas (ocupación media de un servidor continuo). $A = \lambda/\mu$ , tasa de llegadas por duración media. Con unidades homogéneas.

¿Cuándo uso Erlang B y cuándo Erlang C?

Erlang B si las llamadas que no encuentran canal se pierden (bloqueo). Erlang C si esperan en una cola infinita (probabilidad de retardo).

¿Por qué se usa Engset y qué cambia respecto a Erlang B?

Cuando el número de usuarios $p$ es finito, porque los que ya están en llamada no generan nuevas. El bloqueo visto por una llamada es $P_L(p) = P_B(p-1)$ , siempre algo menor que Erlang B para el mismo tráfico.

Escribe la fórmula de Erlang B y su relación con el tráfico cursado.

$P_B = \dfrac{A^C/C!}{\sum_{k=0}^{C} A^k/k!}$ . El tráfico cursado es $A(1-P_B) = E[n]$ .

En M/M/1, ¿qué le pasa al retardo cuando ρ se acerca a 1?

$E[T] = \dfrac{1/\mu}{1-\rho}$ tiende a infinito. Con $\rho = 0{,}9$ el retardo ya es 10 veces el tiempo de servicio.

¿Qué condición debe cumplirse para que Erlang C tenga sentido?

$A < N$ ( $\rho < 1$ ): el tráfico ofrecido debe ser menor que el número de servidores.

¿Qué es la fórmula de Little?

$\lambda E[T] = E[n]$ y $\lambda E[W] = E[q]$ : el número medio en el sistema es la tasa de llegadas por el tiempo medio de estancia. Vale para cualquier sistema estable.

Material del curso usado: Formulario_RdC.pdf (Redes de Comunicaciones).